silverman.mo

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22columns%22)%0A%0A%0A%40app.cell(column%3D0%2C%20hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20holoviews%20as%20hv%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20holoviews%20import%20opts%0A%20%20%20%20opts.defaults(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opts.Curve(width%3D800%2C%20height%3D400%2C%20color%3D'red')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opts.Histogram(width%3D800%2C%20height%3D400%2C%20fontscale%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opts.Scatter(width%3D800%2C%20height%3D400%2C%20size%3D10%2C%20color%3D'green')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20opts.Image(width%3D800%2C%20height%3D500)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20from%20scipy.stats%20import%20gaussian_kde%0A%20%20%20%20from%20scipy.signal%20import%20find_peaks%0A%0A%20%20%20%20return%20find_peaks%2C%20gaussian_kde%2C%20hv%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Generate%20the%20%22test%22%20distribution%0A%20%20%20%20The%20function%20%60gen_mixture()%60%20generates%20a%20Gaussian%20mixture%20distribution%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20gen_mixture(%20N_samples%2C%20means%2C%20sigmas%3DNone%2C%20weights%3DNone%2C%20*%2C%20rng%3DNone%2C%20return_components%3DFalse%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20rng%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20means%20%3D%20np.asarray(means)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20means.ndim%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22means%20must%20contain%20at%20least%20one%20component%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_modes%20%3D%20means.shape%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20sigmas%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sigmas%20%3D%20np.ones_like(means%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sigmas%20%3D%20np.asarray(sigmas%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20sigmas.shape%20!%3D%20means.shape%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22sigmas%20must%20have%20the%20same%20shape%20as%20means.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Got%20sigmas.shape%3D%7Bsigmas.shape%7D%2C%20means.shape%3D%7Bmeans.shape%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(sigmas%20%3C%3D%200)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22All%20sigmas%20must%20be%20positive%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20weights%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20weights%20%3D%20np.ones(N_modes)%20%2F%20N_modes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20weights%20%3D%20np.asarray(weights%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20weights.shape%20!%3D%20(N_modes%2C)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22weights%20must%20have%20shape%20(%7BN_modes%7D%2C)%2C%20got%20%7Bweights.shape%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(weights%20%3C%200)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22weights%20must%20be%20non-negative%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isclose(weights.sum()%2C%201.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22weights%20must%20sum%20to%201%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20components%20%3D%20rng.choice(N_modes%2C%20size%3DN_samples%2C%20p%3Dweights)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20samples%20%3D%20rng.normal(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20loc%3Dmeans%5Bcomponents%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dsigmas%5Bcomponents%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20return_components%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20samples%2C%20components%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20samples%0A%0A%20%20%20%20gaussian_mixture%20%3D%20%20gen_mixture(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_samples%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20means%3D%5B0%2C4%2C6%2C8%5D%2Csigmas%3D%5B1.5%2C%201.0%2C%200.5%2C%200.6%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(gaussian_mixture%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Specify%20the%20parameters%0A%20%20%20%20Specify%20the%20parameters%20for%20the%20binary%20search%20of%20the%20threshold%20bandwidth%20%24h%5E%7B%5Ctext%7Bcrit%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20k_modes_ui%20%3D%20mo.ui.number(value%3D4)%0A%20%20%20%20max_iter_binary_ui%20%3D%20mo.ui.number(value%3D10)%0A%20%20%20%20tolerance_ui%20%3D%20mo.ui.number(value%3D1e-8)%0A%20%20%20%20n_grid_ui%20%3D%20mo.ui.number(value%3D1000)%0A%20%20%20%20binary_search_ui%20%3D%20mo.ui.dictionary(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22kmodes%22%3A%20k_modes_ui%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22max_iters%22%3A%20max_iter_binary_ui%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tolerance%22%3A%20tolerance_ui%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n_grid%22%3A%20n_grid_ui%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20binary_search_ui%0A%20%20%20%20return%20(binary_search_ui%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Binary%20search%20function%0A%20%20%20%20The%20function%20%60search_binary_h()%60%20performs%20the%20binary%20search%20of%20%24h%5E%7B%5Ctext%7Bcrit%7D%7D%24%20and%20returns%20the%20full%20%22history%22%20of%20the%20bandwidth's%20that%20the%20search%20went%20over.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(find_peaks%2C%20gaussian_kde%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20search_binary_h(mixed_gauss_data%2C%20x_grid%2C%20k_modes%2C%20max_iter_binary%2C%20tolerance%2C%20h_low_factor%3D1e-6)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20np.std(mixed_gauss_data)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_low%20%3D%201e-6*s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_high%20%3D%20mixed_gauss_data.max()%20-%20mixed_gauss_data.min()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20get_n_modes(x%2Cy%2Ch)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kde%20%3D%20gaussian_kde(y%2C%20bw_method%3Dh)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kde_y%20%3D%20kde(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20peaks%2C%20_%20%3D%20find_peaks(kde_y)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len(peaks)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20get_n_modes(x_grid%2C%20mixed_gauss_data%2C%20h_high)%20%3E%20k_modes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h_high%20*%3D%202.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_hist%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i_%20in%20range(max_iter_binary)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h_mid%20%3D%20(h_low%20%2B%20h_high)%2F2.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_proposed%20%3D%20get_n_modes(x%3Dx_grid%2Cy%3Dmixed_gauss_data%2Ch%3Dh_mid)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20k_proposed%20%3E%20k_modes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20more%20modes%20than%20needed%20%3D%3E%20more%20smoothing%20%3D%3E%20higher%20h%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h_low%20%3D%20h_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20less%20modes%20than%20needed%20%3D%3E%20less%20smoothing%20%3D%3E%20lower%20h%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h_high%20%3D%20h_mid%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h_hist.append(h_mid)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.abs(h_high%20-%20h_low)%20%3C%20tolerance%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20h_hist%0A%0A%0A%20%20%20%20return%20(search_binary_h%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(binary_search_ui%2C%20gaussian_mixture%2C%20np%2C%20search_binary_h)%3A%0A%20%20%20%20k_modes%20%3D%20binary_search_ui.value%5B'kmodes'%5D%0A%20%20%20%20max_iters_binary%20%3D%20binary_search_ui.value%5B'max_iters'%5D%0A%20%20%20%20tolerance%20%3D%20binary_search_ui.value%5B'tolerance'%5D%0A%20%20%20%20n_grid%20%3D%20binary_search_ui.value%5B'n_grid'%5D%0A%20%20%20%20x_grid%20%3D%20np.linspace(gaussian_mixture.min()%2C%20gaussian_mixture.max()%2C%20n_grid)%0A%20%20%20%20h_crit_history%20%3D%20search_binary_h(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gaussian_mixture%2C%20x_grid%2C%20k_modes%2C%20max_iters_binary%2C%20tolerance%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20h_crit_history%2C%20k_modes%2C%20max_iters_binary%2C%20tolerance%2C%20x_grid%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(hv%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_histogram(data)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20freq%2C%20edges%20%3D%20np.histogram(data%2C%20bins%3D'scott'%2C%20density%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20hv.Histogram((edges%2C%20freq))%0A%0A%20%20%20%20def%20gauss_kde_plot(data%2C%20x_grid%2C%20h%2C%20show_peaks%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20scipy.stats%20import%20gaussian_kde%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20scipy.signal%20import%20find_peaks%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20holoviews%20as%20hv%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kde%20%3D%20gaussian_kde(data%2C%20bw_method%3Dh)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20kde(x_grid)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20peaks%2C%20_%20%3D%20find_peaks(y)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curve%20%3D%20hv.Curve((x_grid%2C%20y))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20show_peaks%20and%20len(peaks)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20curve%20*%20hv.Scatter((x_grid%5Bpeaks%5D%2C%20y%5Bpeaks%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20curve%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20return%20gauss_kde_plot%2C%20plot_histogram%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Visualize%20the%20history%0A%20%20%20%20The%20critical%20bandwidth's%20history%20can%20be%20visualized.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(max_iters_binary%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20n_iter_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1%2C%20stop%3Dmax_iters_binary%2C%20step%3D1%2C%20value%3Dmax_iters_binary%2Cfull_width%3DTrue%2Clabel%3D'Iteration%20of%20h_critical')%0A%20%20%20%20n_iter_slider%0A%20%20%20%20return%20(n_iter_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20gauss_kde_plot%2C%0A%20%20%20%20gaussian_mixture%2C%0A%20%20%20%20h_crit_history%2C%0A%20%20%20%20n_iter_slider%2C%0A%20%20%20%20plot_histogram%2C%0A%20%20%20%20x_grid%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20histogram_plot%20%3D%20plot_histogram(%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gaussian_mixture%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20histogram_kde_plot%20%3D%20gauss_kde_plot(gaussian_mixture%2Cx_grid%2Ch%3Dh_crit_history%5Bn_iter_slider.value-1%5D)%0A%20%20%20%20histogram_plot*histogram_kde_plot%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(column%3D1%2C%20hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Parameters%20for%20bootstrap%0A%20%20%20%20Specify%20the%20parameters%20for%20the%20bootstrapping%20method.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20b_bootstrap_ui%20%3D%20mo.ui.number(value%3D10)%0A%20%20%20%20bootstrap_dict_ui%20%3D%20mo.ui.dictionary(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22b_bootstrap%22%3A%20b_bootstrap_ui%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20bootstrap_dict_ui%0A%20%20%20%20return%20(bootstrap_dict_ui%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Bootstrap%0A%20%20%20%20Run%20the%20bootstrap%20iteration%20and%20collect%20the%20obtained%20%24h%5E%7B%5Ctext%7Bcrit%7D%7D%24.%20The%20same%20function%20%60search_binary_h()%60%20is%20used.%20At%20the%20end%2C%20compute%20the%20p-value%20using%20the%20indicator%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(disabled%3DTrue%2C%20hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bootstrap_dict_ui%2C%0A%20%20%20%20gaussian_mixture%2C%0A%20%20%20%20h_crit_history%2C%0A%20%20%20%20k_modes%2C%0A%20%20%20%20max_iters_binary%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20search_binary_h%2C%0A%20%20%20%20tolerance%2C%0A%20%20%20%20x_grid%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20from%20joblib%20import%20Parallel%2C%20delayed%0A%0A%20%20%20%20def%20generate_xstar(%20x%2C%20h_obs%2C%20noise_scale%3D1.0%2C%20variance_corrected%3DFalse%2C%20ddof%3D1%2C%20rng%3DNone%2C%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.asarray(x%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20len(x)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20rng%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bootstrap_random_indices%20%3D%20rng.choice(n%2C%20size%3Dn%2C%20replace%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20%3D%20x%5Bbootstrap_random_indices%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20random_normal_zs%20%3D%20rng.normal(loc%3D0.0%2C%20scale%3D1.0%2C%20size%3Dn)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20smooth_noise%20%3D%20noise_scale%20*%20h_obs%20*%20random_normal_zs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20variance_corrected%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_star%20%3D%20base%20%2B%20smooth_noise%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_mean%20%3D%20np.mean(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_std%20%3D%20np.std(x%2C%20ddof%3Dddof)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x_std%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Division%20by%200%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correction%20%3D%20np.sqrt(1.0%20%2B%20(noise_scale%20*%20h_obs)%20**%202%20%2F%20x_std**2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_star%20%3D%20x_mean%20%2B%20((base%20-%20x_mean)%20%2B%20smooth_noise)%20%2F%20correction%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x_star%0A%0A%0A%20%20%20%20b_bootstrap%20%3D%20bootstrap_dict_ui.value%5B'b_bootstrap'%5D%0A%20%20%20%20boot_id%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20def%20run_bootstrap_iteration(gaussian_mixture%2C%20h_crit_last%2C%20x_grid%2C%20k_modes%2C%20max_iters_binary%2C%20tolerance)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_star%20%3D%20generate_xstar(gaussian_mixture%2C%20h_crit_last)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20search_binary_h(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mixed_gauss_data%3Dx_star%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_grid%3Dx_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_modes%3Dk_modes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_iter_binary%3Dmax_iters_binary%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tolerance%3Dtolerance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20res%5B-1%5D%0A%0A%20%20%20%20h_crit_last%20%3D%20h_crit_history%5B-1%5D%0A%20%20%20%20executor%20%3D%20Parallel(n_jobs%3D-1%2C%20return_as%3D%22generator%22)%0A%0A%20%20%20%20tasks%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delayed(run_bootstrap_iteration)(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gaussian_mixture%2C%20h_crit_last%2C%20x_grid%2C%20k_modes%2C%20max_iters_binary%2C%20tolerance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(b_bootstrap)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20h_stars%20%3D%20list(mo.status.progress_bar(executor(tasks)%2C%20total%3Db_bootstrap))%0A%0A%20%20%20%20p_val%20%3D%20np.mean(h_stars%20%3E%20h_crit_history%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20return%20(p_val%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20p_val)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%23%23%23%20Interpreting%20the%20p-value%0A%20%20%20%20%20-%20A%20high%20p-value%20(e.g.%20%24p%3E0.05%24%20for%20%240.95%24%20confidence)%20suggests%20evidence%20for%20%24H_0%20%5Crightarrow%24%20%24k%24%20or%20less%20modes.%0A%20%20%20%20%20-%20A%20low%20p-value%20(e.g.%20%24p%3C0.05%24)%20suggests%20evidence%20for%20rejecting%20%24H_0%20%5Crightarrow%24%20in%20favor%20of%20the%20alternative%20%24H_1%20%5Crightarrow%24%20more%20than%20%24k%24%20modes.%20%0A%0A%20%20%20%20%20In%20this%20case%3A%20%24p%3D%24%7B%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22.format(p_val))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A